Como citado no texto sobre Pitágoras de Samos, os pitagóricos desejavam compreender por completo a natureza dos números, para isso examinaram vários relacionamentos, dentre eles propuseram um paralelo com figuras planas, conceiturando os números figurados, aqueles números que podem ser expressos a partir determinada configuração geométrica, examinando-se a quantidade de pontos na figura que representa o número. Foram propostos vários agrupamentos em formas geométricas sugestivas, como números figurados triangulares, quadrados e pentagonais como ilustrados nos diagramas abaixo (fig. 1, 2 e 3).

Fig. 1. Números triangulares T₁, T₂, T₃ e T₄.

Fig. 2. Números quadrados Q₁, Q₂, Q₃ e Q₄

Fig. 3. Números pentagonais P₁, P₂, P₃ e P₄.

Examinaremos alguns resultados básicos relativos aos números figurados, iniciando com os números triangulares.

Considerando T_k o número triangular cujo triângulo associado tem base com k pontos, podemos provar a propriedade seguinte.

• Teorema 1. O número triangular T_n é igual à soma dos n primeiros inteiros positivos.
  
  Fig. 4. Para o triângulo de base 4, T₄ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10. A demonstração pode ser feita por indução a partir de regra de formação dos triângulos.

Observamos que um número quadrado (como Q₄), em sua forma geométrica, pode ser decomposto em números triangulares consecutivos (no exemplo T₄ e T₃). Essa decomposição é ilustrada na figura 5.

Fig. 5. Ilustração da decomposição de Q₄ como sendo a reunião de T₄ (verde) e T₃ (azul).

Vamos fazer a prova desse resultado de modo algébrico, usando como base a relação

ou seja, como indicado na figura 4, o triangular T_k é formado pela soma das diagonais com 1, 2, 3 até k pontos.

• Teorema 2. Todo número quadrado (Q_n) é a soma de dois números triangulares sucessivos (T_n + T_n-1).
  Uma vez que Q_n = n², essa identidade pode ser re-escrita multiplicando e dividindo o lado direito desse identidade por 2, depois somando e subtraindo n e efetuando rearranjos convenientes (como fatorações, distribuições), como indicado a seguir,

  Qn	=	n2 = 2*n2/2 = (2*n2 + n - n)/2 = (n2 + n + n2 - n)/2 =
  	=	(n*(n + 1) + n*(n - 1))/2 = n*(n + 1)/2 + n*(n - 1)/2 =
  	=	n*(n + 1)/2 + (n - 1)*n/2.

  
  Mas, usando a fórmula (1), podemos notar que o último lado direito das identidades acima contém precisamente o número de pontos de T_n e T_n-1, desse modo, chegamos na tese Q_n = n*(n + 1)/2 + n*(n - 1)/2 = T_n + T_n-1.

Ainda observando os 4 primeiro números pentagonais, podemos notar a seguinte regra de formação: P_n = n x (3 x n - 1)/2.
Além disso, a partir da figura 3, podemos notar outra regra de formação (equivalente):

Entretanto a propriedade que desejamos destacar é a relação entre número pentagonal e número triangular, expresso no teorema seguinte.

• Teorema 3. O enésimo número pentagonal é igual a n mais três vezes o (n-1)-ésimo triangular, ou seja, P_n = n + 3 x T_n-1. A partir da observação anterior, podemos escrever o n-ésimo número pentagonal, P_n, como a seguinte soma de uma progressão aritmética, concluindo a tese.

Por fim, desejamos destacar uma interessante relação entre uma progressão aritmética, dos números ímpares, e os números quadrados.

• Teorema 4. A soma dos n primeiros inteiros ímpares, começando com 1, é o quadrado de n. Calculando a soma da progressão aritmética, temos: que demonstra o teorema.